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70000 |
2026 |
数学 |
解答题 |
圆锥曲线-单直线-焦点弦 |
已知椭圆$ C: \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0) $的左焦点为$ F(-1,0) $，离心率为$ \dfrac{1}{2} $.
（1） 求$ C $的方程；
（2） 设$ O $为坐标原点，过$ F $且斜率大于$ 0 $的动直线$ l $与$ C $交于$ P, Q $两点，其中$ Q $在第三象限，直线$ PO $与$ C $的另一个交点为$ R $.
[(i)] 若$ \triangle PQR $的面积是$ \triangle PFO $的面积的$ 3 $倍，求$ l $的方程；
[(ii)] 求$ \tan\angle PQR $的最小值. |
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69999 |
2026 |
数学 |
解答题 |
概率与统计-条件概率 |
设整数$ N\geq 2 $，某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮$ N $次。
当且仅当投中$ 1 $次时或$ N $次均未投中时，停止练习，
设该同学每次投中的概率为$ p(0<p<1) $，各次投中与否相互独立，
记$ X $为停止练习时该同学的投篮次数.
（1） 当$ N=4 $，$ p=\dfrac{1}{3} $时，求$ X $的分布列；
（2） 设$ k $，$ m $均为自然数.
（3）[(1)] 当$ k\leq N-1 $时，求$ P(X>k) $；
（4）[(ii)] 当$ k+m\leq N-1 $时，证明：$ P(X>k+m|X>k)=P(X>m) $. |
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69998 |
2026 |
数学 |
解答题 |
解三角形-关联三角形 |
已知在$ \triangle ABC $中，$ AB=3 $，$ BC=2\sqrt{3} $，$ \cos B=\dfrac{\sqrt{3}}{3} $.
（1） 求$ \cos A $；
（2） 设D，E两点满足：D在BA的延长线上，$DE// BC$，$ AE\perp AC $，若$ DE=\sqrt{6} $，求CE. |
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69997 |
2026 |
数学 |
解答题 |
空间距离 |
如图，在直三棱柱$ ABC-A_{1}B_{1}C_{1} $中，$ \angle ACB=90^{\circ} $，$ AC=BC $，D，E分别为AB，$ AC_{1} $的中点.
（1） 证明：$DE //$ 平面$ BCC_{1}B_{1} $；
（2） 设$ CC_{1}=2 $，直线DE与平面$ ACC_{1}A_{1} $所成的角为$ 45^{\circ} $，求直线DE到平面$ BCC_{1}B_{1} $的距离.
【图】 |
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69996 |
2026 |
数学 |
填空题 |
数列-分组求和 |
设实数$q$满足：存在数列$\{a_{n}\}$，使得对于任意$n\in N^{*}$，
均有$a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{3n}=n^{2}+n$，
且$\{a_{n}\}$中有某连续9项$a_{i},a_{i+1},\cdots,a_{i+8}$是公比为$q$的等比数列，
则$q$的最大值为$____$. |
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69995 |
2026 |
数学 |
填空题 |
具体函数-三角函数 |
已知$f(x)=2\sin(ax+\theta)$（$a\in Z$，$0\leq\theta<2\pi$）是偶函数，
$f(x)$在区间$\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$单调递增，
则$\theta=____,f\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=____$. |
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69994 |
2026 |
数学 |
填空题 |
圆锥曲线-基本量-双曲线 |
双曲线$5x^{2}-6y^{2}=1$的离心率为$____$. |
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69993 |
2026 |
数学 |
多选题 |
圆-相交弦 |
已知圆$C_{1}:(x+1)^{2}+y^{2}=1$，圆$C_{2}:(x-1)^{2}+y^{2}=1$，圆$C_{3}:x^{2}+(y-\sqrt{3})^{2}=1$，
直线$l:y=kx+b$与$C_{1}$，$C_{2}$，$C_{3}$均有两个交点，记$C_{1}$，$C_{2}$，$C_{3}$截得的弦长分别为$s_{1}$，$s_{2}$，$s_{3}$，
则（ ）. |
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69992 |
2026 |
数学 |
多选题 |
空间几何-动态问题 |
在空间中，$A$，$B$为两个定点，动点$C$到直线$AB$的距离为$2$，动点$D$到直线$AB$的距离为$1$，
若二面角$C-AB-D$为$60^{\circ}$，则 （ ） |
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69991 |
2026 |
数学 |
多选题 |
数学运算-复数运算 |
设$z=3+2i$，则 （ ） |
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69990 |
2026 |
数学 |
选择题 |
综合题 |
设 $U=\{(x_1,x_2,x_3) \mid x_i \in \{-2,-1,1,2,\}, i=1,2,3\}$ 为空间中 $64$ 个点构成的集合，
点$P(1,1,1)$，记样本空间 $\Omega=C_U\{P\}$，从 $\Omega$ 中随机取一个点，定义随机变量 $X$ 如下：对 $\Omega$ 中的每个点 $A(x_1,x_2,x_3)$，
令 $X(A)=x_1+x_2+x_3$，则 $X$ 的数学期望为（ ） |
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69989 |
2026 |
数学 |
选择题 |
数列-等差数列判定 |
一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩。
该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第 $i$ 行中塔的座数记为 $a_i$ ($i=1,2,\dots,12$)，
其中 $a_1= 1$，$a_2=a_3=3$，$a_4=a_5=5$，且$a_6,a_7\cdots,a_{12}$ 是一个首项为 $7$，公差为 $2$ 的等差数列，
将 $a_1,a_2,a_3,\dots,a_{12}$ 分为 $6$ 组，每组 $2$ 个数，使得每组的 $2$ 个数之和可构成一个项数为 $6$ 且公差为 $d$ ($d>0$) 的等差数列。则 $d=（ ）$ |
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69988 |
2026 |
数学 |
选择题 |
导函数-求导法则 |
已知函数 $f(x)=\dfrac{x+2}{e^x+a}$ 的最大值为 $1$，则 $a=（ ）$ |
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69987 |
2026 |
数学 |
选择题 |
圆锥曲线 |
已知抛物线 $C_1: y^2=2p_1x$ ($p_1>0$) 和 $C_2: x^2=2p_2y$ ($p_2>0$) 均经过点 $(4,8)$，
则 $C_1$ 的焦点与 $C_2$ 的焦点之间的距离为（ ） |
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69986 |
2026 |
数学 |
选择题 |
导函数-在点处与过点的切线 |
曲线 $y=5x+8\ln x$ 在点 $(1,5)$ 处的切线方程为（ ）. |
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69985 |
2026 |
数学 |
选择题 |
数学运算-三角运算 |
已知集合 $A=\left\{\sin\dfrac{7\pi}{6}, \cos\dfrac{5\pi}{3}, \tan\dfrac{5\pi}{4}\right\}$，$B=\left\{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}, -\dfrac{1}{2},1\right\}$，则 $A \cap B =（ ）$ |
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69984 |
2026 |
数学 |
选择题 |
平面向量 |
已知平面向量 $\vec{a}$, $\vec{b}$ 不共线，且 $2\vec{a} + y\vec{b} = x\vec{a} - 3\vec{b}$，则（ ） |
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69983 |
2026 |
数学 |
选择题 |
概率与统计-数据特征 |
样本数据 $6, 8, 4, 5, 12$ 的中位数为（ ） |
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69982 |
2026 |
数学 |
解答题 |
综合题 |
已知函数 $f(x)=e^x-\dfrac{2}{3}\sin x$。
（1） 求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线方程；
（2） 证明：当 $x\in\left[-\dfrac{1}{3},+\infty\right)$ 时，$f(x)\geqslant 1+\dfrac{x}{3}$；
（3） 若对一切 $n\in N^*$ 都有 $\displaystyle f(1) f\left(\dfrac{1}{2}\right) f\left(\dfrac{1}{3}\right) \cdots f\left(\dfrac{1}{n}\right) \geqslant (n+1)^a$，求实数 $a$ 的最大值。 |
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69981 |
2026 |
数学 |
解答题 |
数列-分组求和 |
已知 $\left\{a_n\right\}$ 为等差数列，$\left\{b_n\right\}$ 为等比数列，$a_1=2, b_1=1, a_2=b_1+b_2, a_4=b_3-b_1$。
（1） 求 $\left\{a_n\right\}$ 与 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式；
（2） 设 $E_n=\left\{x\mid x\leqslant n, x=a_k \text{ 或 } x=b_k, k\in N^*\right\}$，$c_n$ 为 $E_n$ 中元素的个数。
（3）[(I)] 求 $c_{3^n}$；
（4）[(II)] 求 $\displaystyle \sum_{m=1}^{3^n-1}(-1)^m a_m c_m$。 |
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